E. La escala numérica y la semejanza

     ¿Os habéis fijado alguna vez que los helechos presentan una característica muy poco usual en los vegetales, en relación a la morfología de sus hojas? ¿De qué creéis que se trata ¿Cómo lo podemos averiguar?

Para poder responder a todas estas preguntas llevaremos al aula hojas de helecho y flor de hinojo con lo que podréis experimentar y observar lo que ocurre con la morfología de estas flores y hojas.

Si nos fijamos bien en cada hoja veremos que a su vez está compuesta por infinidad de hojas más pequeñas, con la misma forma, y así sucesivamente. Este fenómeno se llama auto semejanza a diferentes escalas y significa que una porción del objeto es similar al objeto completo. En la naturaleza podemos encontrar infinidad de ejemplos que muestran esta estructura fractal, ejemplo de ello son:

Visualicemos un objeto geométrico, o una figura. Ahora imaginemos que esta figura está compuesta de figuras más pequeños, cada una de las cuales se ve idéntica a la figura original excepto por el tamaño; y a su vez cada una de estas figuras más pequeñas se compone de figuritas todavía más pequeñas (cada una de las cuales se ve idéntica a la figura de la cual se desprendió excepto por la escala, y por lo tanto también estas últimas figuritas se ven idénticas a la figura total) y así sucesivamente...

Con este procedimiento nos podemos imaginar generaciones y generaciones de figuras, cada generación se ve como su figura antecesora excepto porque es más pequeña en tamaño. Este concepto involucra la idea de semejanza y esta curiosidad se puede observar en la naturaleza en infinidad de flores y hojas, como las hojas del helecho.

El concepto matemático que vamos a estudiar en este punto es la escala y semejanza.

Escala: La escala es la representación proporcional de los objetos. Todo mapa e imagen debe indicar la escala a la que está hecho, ya que es la manera de saber el tamaño de lo que se está representando.

La escala numérica es la división del tipo 1:50.000, donde 1 cm en el papel equivale a 50.000 en la realidad, gracias a la cual podemos medir distancias y calcular matemáticamente la correspondencia exacta.

Semejanza: dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes. Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Los elementos que se corresponden se llaman análogos. 

Resolved las siguientes actividades: 

1. 1:2000  ______   1 cm   _______    200cm=20m=0,03km

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3. Halla el valor de las siguientes medidas en la realidad: 

a) E 1: 500.000

b) E 1: 7.500.000

          4. Un rectángulo tiene unas dimensiones de 8cm x 20 cm. El lado menor de otro rectángulo  semejante a él, mide 6 cm. Halla:

a)      La razón de semejanza para pasar del primero al segundo.

b)      El lado mayor del segundo.

c)       Las áreas de ambos rectángulos. 

5. Sobre un papel cuadriculado, haz un dibujo semejante a este ampliado al triple del tamaño de sus lados, para ello, utiliza el transportador de ángulos.

     6.  Un gran pino, a las once de la mañana de un cierto día, arroja una sombra de 6,5 cm. Próximo a él, una caseta de 2,8 cm de altura proyecta una sombra de 70 cm. ¿Cuál es la altura del pino?

7. Dibuja la hoja del helecho rodeada con un círculo al mismo tamaño que la imagen de la izquierda.

   8. Buscad y observad en diferentes fuentes de información o en la propia naturaleza diferentes ejemplos que pongan de manifiesto esta estructura de autosemejanza. Elaborad un power point o wiki en el que reflejéis ejemplos de estructuras fractales.